Tábua de mais de 3 mil anos mostra o exemplo mais antigo conhecido da geometria aplicada

Um antigo fragmento de uma tábua de argila de 3.700 anos, durante o antigo período babilônico, contém o que é hoje o mais antigo exemplo conhecido de geometria aplicada, descobriu um matemático. Isso é mais de um milênio antes do nascimento de Pitágoras.

E este artefato que altera a história, conhecido como Si.427, estava parado em um museu de Istambul há mais de 100 anos.

“O Si.427 data do período Babilônico Antigo (BA) – 1900 a 1600 a.C.”, disse o matemático Daniel Mansfield, da Universidade de Nova Gales do Sul (UNSW), na Austrália.

“É o único exemplo conhecido de um documento cadastral do período BA, que é um plano usado pelos topógrafos para definir os limites da terra. Neste caso, ele nos diz detalhes legais e geométricos sobre um campo que é dividido depois que parte dele foi vendido.”

Esse plano usa conjuntos de números conhecidos como triplos pitagóricos para derivar ângulos retos precisos, ou conjuntos de números que se encaixam em modelos trigonométricos para calcular os lados de um triângulo de ângulo reto. Isso torna o tempo do artefato particularmente interessante, com implicações importantes para a história da matemática, observou Mansfield.

Tábua de mais de 3 mil anos mostra o exemplo mais antigo conhecido da geometria aplicada.

A descoberta é descrita em um novo artigo que analisa o contexto desta tábua com descobertas recentes sobre uma tábua contemporânea com o Si.427, conhecida como Plimpton 322. Em 2017, Mansfield e colegas revelaram que plimpton 322 era uma tabela trigonométrica inicial, mostrando toda uma lista de triplos pitagóricos.

Naquela época, os pesquisadores não sabiam qual seria o propósito desta lista. Agora, eles acham que pode ser um pouco mais antiga do que Si.427, e conter apenas triplos pitagóricos que seriam relevantes para fazer medições retangulares do solo. Em outras palavras, é um manual de planejamento.

Isso contrasta com a trigonometria estabelecida por Pitágoras, que foi concebida olhando para as estrelas no céu no século II a.C. O número de triplos pitagóricos que podem ser usados para fazer medições de terra por topógrafos babilônicos é muito pequeno.

Um triplo pitagórico se encaixa na equação de a² + b² = c², onde os lados que definem um triângulo adjacente ao ângulo reto são a e b, e a hipotenusa (o lado mais longo) é c. O exemplo mais simples seria 3² + 4² = 5².

Estes conjuntos de números podem ser usados para desenhar triângulos e retângulos com ângulos retos perfeitos. Mas o sistema de números sexagesimal, ou base 60, babilônico dificultou o trabalho com números primos maiores que 5.

“Isso levanta uma questão muito particular – seu sistema de números base 60 único significa que apenas algumas formas pitagóricas podem ser usadas”, disse Mansfield.

“Parece que o autor de Plimpton 322 passou por todas essas formas pitagóricas para encontrar essas formas úteis. Essa compreensão profunda e altamente numérica do uso prático dos retângulos ganha o nome de ‘proto-trigonometria’, mas é completamente diferente da nossa trigonometria moderna envolvendo seno, coseno e tangente.”

Agora, com o Si.427, finalmente sabemos para que eles queriam usar esses triplos pitagóricos, estabelecendo limites terrestres, de acordo com Mansfield.

“Isso é de um período em que a terra está começando a se tornar privada, as pessoas começaram a pensar em terra em termos de ‘minha terra e sua terra’, querendo estabelecer um limite adequado para ter relações positivas de vizinhança”, explicou.

“E é isso que este tábua diz de imediato. É um campo sendo dividido, e novos limites são criados.”

Outras tábuas desse período revelam por que isso era tão importante. Um deles diz respeito a uma disputa sobre as tamareiras na fronteira entre duas propriedades, nas quais o administrador local havia concordado em enviar um agrimensor para resolver o assunto. É fácil ver por que a capacidade de medir com precisão lotes de terra pode ter sido importante.

No entanto, demonstra uma compreensão sofisticada da geometria. Pode não ter sido tão avançado quanto a trigonometria descrita mais tarde pelos gregos antigos, mas sugere que nossa compreensão da matemática pode ter sido mais incremental do que o conhecimento histórico atual nos diz.

“Ninguém esperava que os babilônios estivessem usando triplos pitagóricos desta maneira”, disse Mansfield. “É mais parecido com a matemática pura, inspirada nos problemas práticos da época.”